09 aprilie 2014

Spectre discrete şi spectre continue
de Gheorghe Oproescu – Tavi, YO4BKM

Spectre discrete
Se întâmplă să apară confuzii între cele două categorii de spectre, favorizate printre altele şi de denumiri destul de asemănătoare ale celor două metode prin care se analizează semnalele din punct de vedere spectral.
Componentele dintr-un spectru discret se determină ca termeni ai cunoscutei serii Fourier, fiind cel mai cunoscut spectru deoarece se apelează destul de des la el în radiocomunicaţii (multiplicatoarele de frecvenţă) iar calcularea valorilor din spectru se face cu relaţii relativ simple. Aceste componente apar numai la semnalele periodice iar frecvenţa lor este multiplu întreg al frecvenţei semnalului de bază, numită frecvenţă fundamentală, de unde rezultă şi caracterul lor discret, având valorile distribuite numai din multiplu în multiplu de frecvenţă fundamentală. Seria Fourier este o serie cu un număr infinit de termeni, deci spectrul unui semnal de bază se întinde până la valori oricât de mari ale frecvenţei, numai că amplitudinea componentelor sale scade cu ordinul de mărime a lor, devenind neglijabilă sau nesesizabilă de la un anumit ordin în sus, stabilit absolut convenţional funcţie de diverse interese.
Deoarece componentele unui spectru discret sunt funcţii armonice (precum funcţiile sinus sau cosinus înmulţite cu diferite constante, ori sume ale acestor funcţii), componentele se numesc componente armonice sau, pe scurt, armonice ale semnalului de bază. Se demonstrează uşor – şi oricine a folosit seria Fourier o ştie – că un semnal armonic (un semnal pur sinusoidal sau cosinusoidal) nu are alte componente decât numai pe el, adică un semnal armonic nu are componente spectrale, figura 1. Fac precizarea că toate figurile din articol au fost obţinute sub formă de copii ecran ale unor softuri de analiză realizate de autor pe baza teoriei cunoscute. Eventualele pete apărute pe imagini sunt produse la salvarea fişierelor în format jpeg pentru a se încadra în normele de tehnoredactare. Nu folosesc softuri de firmă care de multe ori induc în eroare, se va vedea de ce când voi scrie despre spectrele continue.


La fel de uşor se află că un semnal nearmonic asimetric nu are decât componente pare, pe când un semnal simetric are numai componente impare, figura 2 şi figura 3, unde semnalele de bază au provenit prin limitări superioare sau inferioare ale unui semnal armonic.

Această metodă, prin limitarea (tăierea) unui semnal armonic folosind elemente neliniare de circuit este aplicată la multiplicările de frecvenţă în emiţătoarele pe frecvenţe foarte înalte şi, funcţie de ordinul de multiplicare a frecvenţei, semnalul armonic de bază este distorsionat prin limitare superioară sau / şi inferioară în aşa fel încât componenta dorită din spectru să aibe valoarea maxim posibilă pentru ordinul respectiv de multiplicare, figura 4.


Există teorii puse la punct în acest sens, parte sunt prezentate în bibliografie şi de care s-a folosit autorul acestui articol în realizarea softurilor cu care a realizat ilustrările grafice.  
Seria Fourier a apărut în 1822, înainte de a fi folosită intens în radiocomunicaţii. În afară de utilizările ei la dimensionarea multiplicatoarelor de frecvenţă sau la calculul armonicelor generate de semnale nearmonice, seria Fourier se mai poate folosi pentru a compune semnale periodice nearmonice prin însumarea unui număr de semnale armonice cu frecvenţe multiplii întregi ai frecvenţei semnalului periodic şi cu amplitudini şi faze precis determinate. În felul acesta, însumând oscilaţiile furnizate de un număr de oscilatoare armonice având frecvenţe, amplitudini şi faze precis corelate se poate obţine orice semnal periodic având orice formă. Ce anume rezultă din această compunere se va exemplifica în figura 7, care cuprinde şi spectre continue în comparaţie cu spectrele discrete.

Spectre continue
Spectrele discrete arătate mai sus nu pot explica cum se formează toate radiaţiile parazite ale oricărui semnal ce poate exista practic. Mai mult, deşi seria Fourier a spectrului discret nu arată că ar putea exista şi subarmonice, respectiv componente spectrale cu frecvenţe mai mici decât frecvenţa fundamentalei, asemenea subarmonice au fost puse în evidenţă experimental. Întrucât vin în contradicţie cu seria Fourier, serie corect fundamentată matematic, subarmonicele ori au fost ignorate, ori s-au căutat explicaţii care au dus la o falsă înţelegere a ceea ce poate fi un spectru al unui semnal de bază.
Componentele spectrului continuu se determină folosind transformata Fourier (se remarcă uşurinţa cu care se pot confunda cele două proceduri care poartă numele aceluiaşi om de ştiinţă), în concret un algoritm foarte complicat implicând calcule integrale cu funcţii complexe de variabilă complexă. Transformata Fourier este un operator matematic liniar aplicat oricărui semnal (din punct de vedere analitic un semnal este o funcţie reală de timp), fie el periodic sau neperiodic, continuu sau cu un număr finit de discontinuităţi şi oferă valorile amplitudinii şi fazelor pentru componentele armonice pe un domeniu de frecvenţe continuu cuprinse între zero şi infinit, indiferent care este frecvenţa semnalului. Astfel, componentele armonice nu vor fi evidenţiate numai pentru valori discrete ale frecvenţei ca find multiple ale unei frecvenţe de bază, ci pentru orice valoare începând cu zero. Înainte de a detalia prin exemplificare, consider că mai trebuie făcută o precizare. Datorită complexităţii calculelor privind transformata Fourier s-a creat o versiune simplificată a acesteia, numită Transformata Fourier Rapidă (TFR, în engleză FFT – Fast Fourier Transform). Această formă simplificată nu reproduce corect componentele spectrale ale oricărui semnal în orice situaţii, mai ales nu ţine cont de durata semnalului şi, din ignorarea condiţiilor în care ar putea fi folosită, s-au produs analize false care au dus până la a crea false modele spectrale. Un aport nefast l-au adus şi softurile existente pe piaţă care folosesc TFR fără să prevină asupra acestui lucru, precum şi utilizarea fără discernământ a acestor softuri de către foarte mulţi profani în domeniu. Este asemănător cu a lăsa un automobil de curse la îndemâna unui neexperimentat şi a-i permite să conducă pe drumurile publicese produc accidente soldate, de data aceasta, cu distrugeri în domeniul ştiinţelor fundamentale, pe care se clădesc ştiinţele aplicative.  Din aceste motive, în analizele ce urmează să le prezint am folosit numai transformata Fourier completă implementată în softurile ce le-am elaborat în mediul Delphi 7, tehnica de calcul de azi permiţând folosirea ei fără mult consum de timp. Operând cu FFT nu s-ar fi putut obţine rezultatele arătate, unele din ele constituind premiere în domeniu [1], [2].
Arătam mai sus că folosirea seriei Fourier duce la o concluzie greşită, respectiv că un semnal armonic (sinusoidal) nu are alte componente armonice în afara lui. Folosind transformata Fourier apare o primă deosebire, cu o semnificaţie fundamentală. Spectrul unui semnal armonic poate avea oricât de multe componente armonice (adică descrise tot de funcţii armonice) iar acestea depind de durata semnalului de bază exprimată în număr de perioade ale acestuia. În figura 5 se prezintă spectrul unui semnal armonic (sinusoidal) de amplitudine egală cu 1 şi frecvenţa de 1 Hz, care durează o singură perioadă.

Dacă frecvenţa semnalului de bază creşte de 10, 100, 1000 de ori sau mai mult, amplitudinea maximului din figura 5 scade de 10, 100, 1000 de ori sau mai mult. Iată că un semnal armonic care durează exact o perioadă are un spectru pe un domeniu de frecvenţe cuprins între zero şi infinit, aşadar o bandă infinit de largă. Se mai vede că maximul de amplitudine corespunde unei componente cu frecvenţa puţin mai mică decât frecvenţa fundamentalei. Între valoarea zero pe axa frecvenţei şi valoarea fundamentalei se pot afla oricâte componente spectrale având amplitudi mai mari sau mai mici, cuprinse sub curba din figura 5. Iată aşadar cum apar şi subarmonicele. La fel şi pentru frecvenţe mai mari decât frecvenţa fundamentalei, pot exista oricâte componente spectrale cu amplitudinea delimitată de curbele din figuri. Pentru a vedea influenţa duratei semnalului, în figura 6 se arată spectrul semnalului din figura 5 dacă durata sa este de 2 perioade sau 10 perioade.


Se remarcă uşor că, pentru aceeaşi frecvenţă, cu creşterea duratei semnalului spectrul conţine componente cu amplitudinea din ce în ce mai mare şi grupate tot mai aproape de fundamentală. Personal am demonstrat că numai un semnal armonic de durată infinit de mare are o singură componetă calată exact pe fundamentală, a cărei amplitudine devine infinit de mare. Tot autorului îi aparţine demonstraţia că aria de sub curba care delimitează spectrele este finită şi constantă pentru un semnal de bază care durează infinit de mult, anume 3,7038... (număr transcendent), indiferent de frecvenţă sau de amplitudinea semnalului, spectrul unui semnal armonic de durată infinit de mare asemuindu-se cu o funcţie Dirac, cu deosebirea că aria de sub curba funcţiei nu este 1 ci are valoarea arătată mai sus, dar tot o valoare constantă. Dirac a ales valoarea 1 pentru simplificarea calculelor cu operatori Laplace sau Fourier în cazul în care trebuie folosite semnale de tip impuls, destul de corect redate de orice formă analitică a funcţiei Dirac.
Iată cum un semnal real, de durată finită, poate avea un spectru mult mai bogat decât arată seria Fourier.
În figura 7 se prezintă o pagină ecran din softul elaborat de autor pentru analiza spectrală continuă şi discretă.


Spectrul continuu obţinut cu transformata Fourier se poate afla şi pentru semnale neperiodice. Practic, orice semnal are un spectru continuu care depinde de toate elementele caracteristice ale semnalului: formă, durată, frecvenţă.  Spectrul discret este un caz diferit de spectrul continuu, particularităţile sale constând în considerarea semnalului ca fiind periodic şi fără să fie luată în considerare durata acestuia. Iar softurile pentru evidenţierea spectrului continuu construite pe baza transformatei Fourier rapide TFR, inclusiv rutine bibliotecate în anumite medii de programare precum LabView sau MATLAB, nu iau în considerare durata semnalului. Personal am demonstrat printr-un experiment că unde mecanice de durată foarte scurtă au un spectru cu o bandă extrem de largă aşa cum arată figurile 5 şi 6. Practic am construit un pendul pe o frecvenţă foarte joasă, sub 1 Hz, care excită prin unde de presiune (pendulul avea ca greutate o placă ce acţiona ca o membrană asupra aerului înconjurător) zece alte penduluri aşezate în faţa lui, cu lungimi diferite ale firului, mai mari şi mai mici decât ale pendulului excitator, deci cu frecvenţe proprii diferite şi adiacente frecvenţei de excitaţie. La prima oscilaţie a pendulului excitator s-au pus în mişcare toate pendulurile, indiferent frecvenţa lor proprie apoi, pe măsură ce pendulul excitator continua să oscileze, pendulurile excitate îşi încetau oscilaţiile cu atât mai rapid cu cât aveau frecvenţe proprii mai diferite de cea a excitatorului, rămânând în mişcare numai pendulul acordat pe frecvenţa de excitaţie.

Concluzii
Spectrele discrete descriu componentele în care poate fi descompus un semnal periodic, dar şi din care se poate reconstitui respectivul semnal periodic. Chiar din demonstrarea formulelor de calcul pentru amplitudinile şi fazele componentelor, Fourier a pornit de la ipoteza ca un semnal periodic să fie identic cu o sumă infinită de funcţii armonice apoi, punând condiţia ca abaterile dintre semnalul iniţial şi suma funcţiilor armonice să fie minimă (este vorba de minimizarea abaterii medii pătratice conform metodei elaborată de Gauss), a dedus relaţiile de calcul pentru coeficienţii seriei ce-i poartă numele.
Spectrele continue tratează problema din cu totul altă perspectivă, respectiv din punct de vedere energetic. Spectrul continuu reprezintă o măsură a distribuţiei energiei unui semnal cu o anumită structură pe un domeniu infinit de frecvenţe. Un semnal armonic distribuie energia sa într-o bandă în jurul frecvenţei de bază, iar lărgimea acestei benzi se micşorează pe măsură ce semnalul durează mai mult. La o durată infinit de mare în timp, lărgimea de bandă tinde către zero şi, pentru că energia se va distribui într-un domeniu de lărgime nulă, amplitudinea va tinde spre infinit. Faptul că aria mărginită de curbele spectrale este finită chiar când amplitudinea spectrală devine infinită pe o lărgime de bandă nulă, arată că energia distribuită de un semnal în spectrul său este finită chiar şi în acest caz extrem

Bibliografie
[1] Oproescu, Gheorghe. Spectral Analysis and Regeneration of the Numerical Signals. Proceedings of the 8th WSEAS International Conference on Signal Processing, Istanbul, 2009, ISSN: 1790-5117, ISBN: 978-960-474-086-4, pp 55-60.
[2] Oproescu, Gheorghe. Spectral function of the wave and quantum physic. Romanian Journal of Acoustics and Vibration, IMPULS Publishing House, June 2007, Vol. IV, No.1, ISSN 1584-7284, pp.31-34.
[3] Grigorescu, Luiza; Oproescu, Gheorghe. Tehnici in prelucrarea semnalelor, Editura EUROPLUS, Galati, ISBN 978-973-7845-84-9, 2007.
[4] Oproescu, Gheorghe; Cautes, Ghiorghe. Metode numerice şi aplicaţii, Editura TEHNICA-INFO, Chişinău, ISBN 9975-63-254-8, 2005.
[5] Oproescu, Gheorghe. Um den Grundsatz und das Grundprinzip in Zahlenrechnung. The VI-th International Conference on Precision Mechanics and Mechatronics, The Romanian Rewiew of Precision Mechanics, Optics and Mechatronics, Vol. 2-20b, 10-12 October 2002,Braşov, România, ISSN 1220-6830, pp. 349-352.

Despre mine

Fotografia mea
Constanţa, Constanta, Romania

ARHIVA ARTICOLELOR

free counters Stats Copyright©Francisc Grünberg. Toate drepturile rezervate. All rights reserved